1.

\(cos2x-3cosx+2=0\)

\(\Leftrightarrow2cos^2x-3cosx+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cosx=1\\cosx=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=k2\pi\\x=\pm\dfrac{\pi}{3}+k2\pi\end{matrix}\right.\)

\(x=k2\pi\in\left[\dfrac{\pi}{4};\dfrac{7\pi}{4}\right]\Rightarrow\) không có nghiệm x thuộc đoạn

\(x=\pm\dfrac{\pi}{3}+k2\pi\in\left[\dfrac{\pi}{4};\dfrac{7\pi}{4}\right]\Rightarrow x_1=\dfrac{\pi}{3};x_2=\dfrac{5\pi}{3}\)

\(\Rightarrow P=x_1.x_2=\dfrac{5\pi^2}{9}\)

2.

\(pt\Leftrightarrow\left(cos3x-m+2\right)\left(2cos3x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cos3x=\dfrac{1}{2}\left(1\right)\\cos3x=m-2\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow x=\pm\dfrac{\pi}{9}+\dfrac{k2\pi}{3}\)

Ta có: \(x=\pm\dfrac{\pi}{9}+\dfrac{k2\pi}{3}\in\left(-\dfrac{\pi}{6};\dfrac{\pi}{3}\right)\Rightarrow x=\pm\dfrac{\pi}{9}\)

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi \(\left(2\right)\) có nghiệm duy nhất thuộc \(\left(-\dfrac{\pi}{6};\dfrac{\pi}{3}\right)\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m-2=0\\m-2=1\\m-2=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2\\m=3\\m=1\end{matrix}\right.\)

TH1: \(m=2\)

\(\left(2\right)\Leftrightarrow cos3x=0\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{k2\pi}{3}\in\left(-\dfrac{\pi}{6};\dfrac{\pi}{3}\right)\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{6}\left(tm\right)\)

\(\Rightarrow m=2\) thỏa mãn yêu cầu bài toán

TH2: \(m=3\)

\(\left(2\right)\Leftrightarrow cos3x=0\Leftrightarrow x=\dfrac{k2\pi}{3}\in\left(-\dfrac{\pi}{6};\dfrac{\pi}{3}\right)\Rightarrow x=0\left(tm\right)\)

\(\Rightarrow m=3\) thỏa mãn yêu cầu bài toán

TH3: \(m=1\)

\(\left(2\right)\Leftrightarrow cos3x=-1\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{k2\pi}{3}\in\left(-\dfrac{\pi}{6};\dfrac{\pi}{3}\right)\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\pm\dfrac{1}{3}\\x=-1\\x=-\dfrac{5}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow m=2\) không thỏa mãn yêu cầu bài toán

Vậy \(m=2;m=3\)

3.

\(2sin^2\dfrac{x}{4}-3cos\dfrac{x}{4}=0\)

\(\Leftrightarrow2cos^2\dfrac{x}{4}+3cos\dfrac{x}{4}-2=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cos\dfrac{x}{4}=\dfrac{1}{2}\\cos\dfrac{x}{4}=-2\left(l\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow x=\pm\dfrac{4\pi}{3}+k8\pi\in\left[0;8\pi\right]\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{4\pi}{3}\\x=\dfrac{20\pi}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow T=\dfrac{4\pi}{3}+\dfrac{20\pi}{3}=8\pi\)

\(\Leftrightarrow\left(1-sinx\right)\left(cos2x+3msinx+sinx-1\right)=m\left(1-sinx\right)\left(1+cosx\right)\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx=1\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{2}\\cos2x+3m.sinx+sinx-1=m\left(1+sinx\right)\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

Bài toán thỏa mãn khi (1) có 5 nghiệm khác nhau trên khoảng đã cho thỏa mãn \(sinx\ne1\)

Xét (1):

\(\Leftrightarrow1-2sin^2x+3msinx+sinx-1=m+m.sinx\)

\(\Leftrightarrow2sin^2x-sinx-2m.sinx+m=0\)

\(\Leftrightarrow sinx\left(2sinx-1\right)-m\left(2sinx-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2sinx-1\right)\left(sinx-m\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx=\dfrac{1}{2}\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{6};\dfrac{5\pi}{6}\\sinx=m\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(2\right)\) có 3 nghiệm khác nhau trên \(\left(-\dfrac{\pi}{2};2\pi\right)\)

\(\Leftrightarrow-1< m< 0\)

Đáp án D

Tất nhiên đến đây mà vội vàng kết luận thì chưa hoàn thành, các em có thể dễ thấy trường hợp còn lại không có m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Trường hợp phương trình (*) có một nghiệm t 1 = 1    (có hai nghiệm x) và một nghiệm - 1 < t 2 ≤ 0    (có ba nghiệm x).

Rất dễ để tìm được  nhưng rõ ràng không có m theo yêu cầu.

Vậy ta kết luận  thỏa mãn yêu cầu bài toán và .

§ Bổ trợ kiến thức: Không dễ để các em có thể nhận ra cả 2 trường hợp này trong cùng một bài toán, cho nên khi gặp một số trường hợp đã giải ra kết quả mà có khả năng là đáp án đúng cao thì các em nên mạnh dạn bỏ hẳn trường hợp còn lại để tránh việc mất nhiều thời gian vào các trường hợp không đâu, ở đây phương án bên dưới cho rất nhẹ nên các em có thể dễ dàng kết luận luôn  

và chọn đáp án đúng.

Chọn D

Tất nhiên đến đây mà vội vàng kết luận thì chưa hoàn thành, các em có thể dễ thấy trường hợp còn lại không có m thỏa mãn yêu cầu bài toán

Trường hợp phương trình(*) có một nghiệm t 1 = 1 (có hai nghiệm x) và một nghiệm - 1 < t 2 ≤ 0 (có ba nghiệm x).

Rất dễ để tìm được  nhưng rõ ràng không có m theo yêu cầu.

Vậy ta kết luận m = - 1 2  thỏa mãn yêu cầu bài toán và .

§ Bổ trợ kiến thức: Không dễ để các em có thể nhận ra cả 2 trường hợp này trong cùng một bài toán, cho nên khi gặp một số trường hợp đã giải ra kết quả mà có khả năng là đáp án đúng cao thì các em nên mạnh dạn bỏ hẳn trường hợp còn lại để tránh việc mất nhiều thời gian vào các trường hợp không đâu, ở đây phương án bên dưới cho rất nhẹ nên các em có thể dễ dàng kết luận luôn  và chọn đáp án đúng.